什么是反函数，反函数介绍

什么是反函数，反函数介绍

【反函数的定义】

设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为

抽象的定义可能比较难，而且高中阶段对反函数的定义只是要求了解，所以呢，这里小秦给大家提供另外一种比较简洁的理解方式。

如图，同学们有什么发现吗？

我们会发现，对应关系是不变的，但是通过谁确定谁发生改变了，原函数是用x确定y的，反函数呢，是用y确定x的，也就是自变量、因变量的身份发生改变，但谁对应着谁，依旧是那么对应着的。

所以呢，我们经常简单地把反函数理解为定义域和值域互换，或者说对应法则取逆（关系反过来找就是了）。

【证明互为反函数的两函数关于直线y=x对称】

在证明这个结论之前呢，我们先来理解这些内容。

作函数图象，最基本的方式就是获取函数的所有点，例如二维的(x,y)，然后在平面直角坐标系上，一直点点点点。。。。。。

对于坐标上任意两个点的对称点，我们可以引用中点坐标公式。

而所有对称点的集合是不是就是最终的集成效果了。

好，有了前面的准备，我们来看。

【对反函数认识误区一】什么函数都存在反函数。

这个认识肯定是不对的，因为反函数本身就是一种函数，如果可以，同学们和小秦一起回忆一下函数的定义。

函数定义：取两个数集，分别命名为A，B，若有对应关系使得，数集A中的任意一个数，都能够在数集B中找到唯一的一个数与之相对应，那么我们称这样的对应关系为函数。

然后，我们来看，反函数的简单含义是，原函数的值域作为反函数的定义域，原函数的定义域作为反函数的值域，但对应关系不变（也就是本来哪些数是对应着的，现在仍旧是对应着的。）

如果我们现在对二次函数求反函数可以吗？来，定义域与值域互换（也就是自变量和因变量互换），但对应关系不变，那么也就是意味着一个自变量y=1对应着，两个因变量x=1和x=-1，怎么样？并不符合我们的函数定义吧，所以它不是个函数吧，既然它连函数都不是，就肯定不是反函数了。

那么什么情况才能保证反函数存在呢？

前面的原因展示同学们不难理解下面的内容为什么了。这里小秦就直接了当地给大家展示结果了。

高中阶段，如果这个函数在定义域上具有严格单调性，那么这个函数就具有反函数。

如果这个函数在某个区域上具有严格单调性，那么这个函数在这个区域上具有严格单调性。

那么正确的按照定义，来抽象求取反函数的方式是什么呢？

实际上，我们是用复合函数的概念来求取的

所以，建议同学们一定要注意好不要再纠结，或者执着这样的说法，它不就是倒过来的嘛！！！希望同学们用复合函数的眼光看待。实在无法接受复合函数，考虑一下“取逆”的说法也行。

【几个有关反函数的简单例子】

【最后一个问题】

为什么反函数求出来后，要把原来的x换成y来表示，把原来的y换成x来表示。

因为习惯上，我们认为x是自变量，y是因变量。

实际上，同学们如果不换的话也是可以的，这个没有硬性要求。

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