美国高考数学题(美国数学高考热议题)
之前我给今日头条发了以下美国数学高考题，没想到得到了25万的演示和858条留言。前几天我在关于张东升在《隐藏的角落》中画错了心线的文章中指出了这个问题，结果也引起了很多人的讨论。现在，该给这个问题一个交代了。
问题是:
小圆的半径是大圆的1/3。大圈是固定的。小圆绕着大圆滚，又回到原来的位置。小圆圈自己转了几圈？
这个问题的正确答案是4圈。为什么30万人中只有3人答对了？原因是选项中没有出现正确答案。提问者真的把大家都耍了。这个问题其实也叫“硬币悖论”，即结果与人的直觉相反。
对于这个问题，很多人认为答案应该是3圈，因为大圆的周长是小圆的3倍。4圈的正确答案有各种解释。这里我将一一解释一些主要的答案。
1.旋转和公转理论
小圆转三圈，绕大圆转一圈，一共转四圈。
这个答案是最有欺骗性的一个。听起来很有道理，4圈的答案也是正确的，也可以和悠游资源网上的地球自转公转理论绑在一起。嗯，大家都是这么说的，我就假装懂了。估计回答四轮的人有一半以上是这么想的，但是根本没有深入思考。
真的是这样吗？我们来看看这个问题问的是什么。
问题是小圆自己转了多少圈，也就是小圆绕其中心转了多少圈。这就是旋转的概念。如果你说你旋转三次，答案应该是三次。公转是一个小圆绕着一个大圆的圆心转，与自转无关。其实小圆即使不旋转，也可以绕着大圆的圆心旋转。在这个问题中，小圆确实绕着大圆转了一圈，但这与小圆转了几次无关。因为一个小圆转了四圈。也就是说，小圆转了四圈，做了一圈。
2.中心轨迹法
小圆的圆心的轨迹也是圆，半径为4r，所以它的长度为8r。圆每转一圈，圆心过2r，所以转4圈。
如果一个小圆在平地上滚动，真的是每2r绕圆心转一圈。
但在绕大圆滚动的问题中，首先要证明圆心走过了2r的长度，小圆绕圆心转了360°。也就是如下图所示，小圆的圆心走了2r的距离，刚好过了它的朋友朋友的资源网的圆周的1/4。为什么这个时候小圆只是绕着自己的中心转？没有证明过程，直接得出平地的结论是不严谨的。
还有人说小圆上各点的长度等于小圆的心的长度，所以是这样的。这个结论是错误的。我们以后再谈。
3.粒子法
质点法类似于中心轨迹法。也就是把小圆看成一个质点，这样小圆的轨迹就是一个半径为4r的圆。粒子总共走了8r，每2r长度绕圆心转一圈，所以转了四圈。这种方法首先需要明白粒子是什么，其次和中心轨迹法一样，也需要证明前面的小结论。
4.相对运动法
如果小圆和大圆分别固定圆心，像齿轮一样同时转动，那么小圆顺时针转3圈，大圆逆时针转1圈，小圆相对大圆转4圈。现在大圈是固定的，小圈需要相对大圈转四圈。这种解释是可能的，但相对运动对大多数人(尤其是孩子)来说还是太抽象了。
那么，有没有更直观的解释呢？下面给出的方法，纯粹是从数学几何关系上解释的，学过角和周长的高年级小学生应该能看懂。
5.纯几何方法
这个问题中有一点是肯定的，那就是小圆的周长是大圆的1/3。小圆在大圆上滚过2r的长度，即大圆周长的1/3，滚到下图所示的位置。这时小圆绕其中心转了360°+120° = 480°。小圆滚6r对大圆的长度刚好滚回原点，此时转4803=1440。140360 = 4圈。
6.心脏线的长度
刚才说了，第二种方法，有人认为小圆上任意一点的长度与圆心的长度相同。真的是这样吗？
我们来看一个类似但更简单的心线，也就是两个圆的半径相同的时候。在之前的文章《藏在隐蔽处的错误心形线》中，给出了心形线的极坐标方程表示。
此时，从极坐标方程r=2a(1-cos)和微积分可以确定心线的长度为16a(具体计算过程如下)，而小圆的心的轨迹是一个半径为2a的圆，所以圆的长度为4a。也就是说，在这个滚动问题中，圆心的长度不同于圆上任意一点的长度。
如果你有幼儿园到初中的适龄儿童想加入数学讨论组，可以留言告诉年级。
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